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NO. 116

不报七

一队士兵排队报数。他们的长官在家族中排行第七，所以不让士兵们报“七”和所有带“七”的数字，因此6的后面是8，16后面是18，69的后面是80。最后一个士兵报的数是2048。总共有多少名士兵？

来源：Areteem魔法学园每日一题

问题分析解答

本期问题题友们的解答非常精彩，大家各显神通，给出了好几种解法，更有题友利用“九进制”来解，大获好评，请看“题友解答精选”。

题友解答精选

一、最简单的解法◎题友 @枯木的守望 的解答：

考虑1到1999和2000到2048两段。 1到1999，不含7的数有2×9×9×9-1=1457个(减1是去掉0)； 2000到2048有49-5=44个。 综上，一共有1501个。

二、容斥原理◎题友 @Mr.胡xb Right的解答：

考虑0001到2048 找出不含7的数，记S为上面2048个数构成的集，A、B、C分别为S中个位、十位、百位上出现了数字7的集。则含7的数集可以用 A∪B∪C 表示，易知 |A|=205，|B|=200，|C|=200，|A∩B|=20，|B∩C|=20，|A∩C|=20，|A∩B∩C|=2，根据容斥原理 |A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|-|A∩B|-|B∩C|-|A∩C|+|A∩B∩C|=547，故士兵数为2048547=1501。

◎题友 @毕盛的解答：

找出带7的数字个数就行。2000以后有5个，主要看之前的个数，这是个排列组合问题。百位数带7的个数：2×10×10＝200；十位数带7的个数：2×10×10＝200；个位数带7的个数：2×10×10＝200；百十位数都带7的个数：2×10＝20；百个位数都带7的个数：2×10＝20；十个位数都带7的个数：2×10＝20；百十个位数都带7的个数：2。那么2000之前所有带7的个数：200＋200＋200－20－20－20＋2＝542。士兵数目就是2048－542－5＝1501。

三、进制法——最有创意的解法◎题友 @mathlu的解答：

进制换算。九进制里的标准符号系统A：“0，1，2，3，4，5，6，7，8”，用符号系统B：“0，1，2，3，4，5，6，8，9”表示。“2048”是在符号系统B下的表示，化成标准的符号系统A的表示是“2047”，而“2047”实际对应的十进制数是2*93+0*92+4*91+7*9o=1501，即实际的士兵数。该方法可以用于一般的情况。

四、分段计数法◎题友 @一只巴掌 的解答：

100以内有10+9=19个带7的数，1000以内有100+19*9=271个带7的数，2000以内有271*2=542个带7的数，余下48里有5个，总的带7的数有542+5=547个，故士兵数为2048—547=1501。

五、程序法（Python）◎题友 @Fred Liu 的解答：

python3.5.1 a = For i in range(1,2049): if str("7") in str(i): a.append(i) Print(2048-Len(a)) Output：1501

六、Excel法——最偷懒的方法◎题友 @阿拉丁神灯 的解答：

还有个偷懒的不用数学思维的方法：在excel中从1拉到2048，筛选文本不含7的，再看剩下数字多少个。

Excel截图

本期答案整理：子曰 编辑：子曰

感谢各位题友的积极参与，下期再见！

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