在说二项式分布之前，先来复习一下排列组合的概念，尤其是组合（Combination） C。

排列的定义：从n个不同元素中，任取m(m≤n,m与n均为自然数,下同）个不同的元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n）个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号

或

表示。

计算公式：

组合的定义：从n个不同元素中，任取m(m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数。用符号 C(n,m) 表示。

计算公式：

；

举例：组合怎么算

1、比如C73，就是7开始的3个数相乘（7*6*5）再除以3开始到1之间所有的数（3*2*1）

2、比如C52，分子是从5开始递减的两个数字相乘，即5*4；分母为从2开始到1，即2*1；所以结果为5*4÷(2*1)=10;

那么，什么是二项分布呢？只要符合下面3个特点就可以判断某事件是二项分布了：

1）做某件事的次数（也叫试验次数）是固定的，用n表示。

（例如抛硬币3次，投资5支股票），

2）每一次事件都有两个可能的结果（成功，或者失败）

（例如每一次抛硬币有2个结果：正面表示成功，反面表示失败。

每一次投资美股有2个结果：投资成功，投资失败）。

3）每一次成功的概率都是相等的，成功的概率用p表示

（例如每一次抛硬币正面朝上的概率都是1/2。

你投资了5家公司的股票，假设每一家投资盈利成功的概率都相同）

4）你感兴趣的是成功x次的概率是多少。那么就可以用二项分布的公式快速计算出来了。

比如抛硬币是一个典型的二项分布。

在概率论和统计学中，二项分布是n个独立的成功/失败试验中成功的次数的离散概率分布，其中每次试验的成功概率为p。这样的单次成功/失败试验又称为伯努利试验。实际上，当n=1时，二项分布就是伯努利分布。 [2]

一般地，如果随机变量

服从参数为

和

的二项分布，我们记为

或

。n次试验中正好得到k次成功的概率由概率质量函数给出： [2]

式中k=0，1，2，…，n,

是二项式系数（这就是二项分布名称的由来），又记为

或者

。 该公式可以用以下方法理解：我们希望有k次成功(p)和n?k次失败(1 ?p)。并且，k次成功可以在n次试验的任何地方出现，而把k次成功分布在n次试验中共有

个不同的方法。

举个现实的例子：

经济学

在保险业务中，我们经常需要根据实际情况适当调整保费问题，以保证保险公司的利润达到一定要求，同时保险公司的业务量也达到要求，对于这一类问题，可以对已知实际情况做一定的概率分析。例如某保险公司有10000客户购买人身意外保险，该公司规定每人每年付公司120元 ，若遇意外死亡，公司将赔偿10000元。若每人每年死亡率为0.006，从而不难利用二项分布算出公司获利、亏本的各种情形了。实际上对于随机现象，了解其分布非常有意义，利用概率论讨论得到的结果对保险公司有一定的指导意义。

这里我二项式分布的公式也懒得套用了，直接Python交易。

上代码：

import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy import stats
# 绘制二项分布和泊松分布图
n = 10000
p=0.006
q=1-p
bino = stats.binom(n,p)
x = np.arange(0,n)
y1 = bino.pmf(x)
possion = stats.poisson(n*p)
y2 = possion.pmf(x)
plt.plot(x,y1,label="erxiang")
plt.plot(x,y2,label="bosong")
plt.legend()
plt.show()

结果生成的图是：

可以看出

挂几个人的概率最多也就刚超过0.05,然后挂的人数越多的概率就越趋于0了。

保险公司的钱来得是真轻松啊，赔付概率是很低的。

注：一般当n>=20,p<=0.05的时候，就可以用泊松分布近似替代二项分布了。

泊松分布的概率函数为：

泊松分布的参数λ是单位时间(或单位面积)内随机事件的平均发生次数。 泊松分布适合于描述单位时间内随机事件发生的次数。

泊松分布的期望和方差均为

特征函数为

参考文献：

【1】百度百科的二项式分布

https://baike.baidu.com/item/%E4%BA%8C%E9%A1%B9%E5%88%86%E5%B8%83/1442377?fromtitle=%E4%BA%8C%E9%A1%B9%E5%BC%8F%E5%88%86%E5%B8%83&fromid=3565421&fr=aladdin

【2】百度百科的泊松分布

https://baike.baidu.com/item/%E6%B3%8A%E6%9D%BE%E5%88%86%E5%B8%83/1442110?fr=aladdin

【3】Python之二项分布、泊松分布

https://cloud.tencent.com/developer/article/1752135

扩展阅读：

【1】泊松分布的现实意义是什么，为什么现实生活多数服从于泊松分布？ - 猴子的回答 - 知乎

https://www.zhihu.com/question/26441147/answer/208718584

【2】泊松分布的现实意义是什么，为什么现实生活多数服从于泊松分布？ - 马同学的回答 - 知乎

https://www.zhihu.com/question/26441147/answer/429569625